例4：（2005·湖北）已知向量a= ，b=（1 ，t），若函数 =

a·b在区间（ ，1）上是增函数，求t的取值范围。

解析：依定义 = ，则 = 。由 在（ ，1）上是增函数，则在（ ，1）上恒有 ≥0，即t≥ 在（ ，1）上恒成立。设 ， （ ，1），易知 ≤ ＜ ，即 ≤ ＜5，故t≥5。

误区五：错误理解函数的导数与函数极值的关系

我们可以利用导数求函数的极值，但并不说明函数 在某点 处取得极值的充要条件是 。事实上 既不是充分条件也不是必要条件。如 ，易知 ，但 在 处无极值，又如 = 在 处有极小值，但 不存在。正确的叙述应为：函数 的极值点应在 =0或 不存在处取得。因而，要求出函数的极值点，必须通过讨论函数的单调区间来得到。

例5：（2005·重庆）已知 ，讨论函数 = 的极值点的个数。

解析： =

= ，

令 =0得

（1）当 ＞0，即a＜0或a＞4时，方程

有两个不同的实根 、 ，不妨设 ＜ 。

于是 = ，列表

即此时 有两个极值点。

   （2）当 ，即a=0或4时，方程 ＞0有两个相同的实根 ，于是 = 。

故当 ＜ 时， ＞0，当 ＞ 时， ＞0，因此 无极值点。

（3）当 ＜0，即0＜a＜4时， ＞0恒成立，故 为增函数，此时 无极值。

综合得：当a＜0或a＞4时， 有两个极值点；当0≤a≤4时， 无极植点。

误区六：错误运用导数判定数列的单调性

在需判定数列的单调性时，有很多学生采用导数法，其中有的学生错误地直接对数列的通项公式a_n进行求导来讨论通项的单调性。事实上，由于a_n=

f（n）是定义在正整数集或其子集上的函数，故a_n=f（n）不是连续函数，因而不存在导数。正确的处理方法是构造函数 ，利用导数判定 的单调性，从而知a_n=f（n）的单调性。

例6：（2001·全国）已知m、n是正整数，且1＜m＜n，证明： ＞ 。

解析：设 = （x≥2），则 = ，

 x≥2， 1+ x≥3， ＞1

＜ ＜0，故 ＜0，从而 在 上递减， m、n为正整数，且1＜m＜n， ＞ ，即 ＞ ，所以 ＞ 。