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近几年来，高考立体几何命题遵循了“稳定大局，控制难度，改革探索”的指导思想和原则，从近几年各地高考试卷的统计来看，立体几何约占总分20%，纵观高考试题中对立体几何的考查。其基本特点是：融线面关于立体图形之中，以线面关系的分析为主，试题主要体现了立体几何的通性通法、在考查“四个能力”的同时，非常重视对数学素质和基本的数学思想方法的考查，尤其是对学生“空间想象能力”的考查。具体体现在对图形语言的考查，即识图、画图、想图、用图等几个方面。
一、识图
识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系。第一轮复习时，有的学生看到几何图形很快地判断出线线、线面、面面的平行与垂直关系，或者很容易根据已知条件构造辅助线，从而有效地解决问题，但有的学生反应迟钝，根源在于识图的差别，因此，第二轮复习时，关键培养学生的识图能力，首先是加强图上作业。让学生将题目中的已知条件转移到几何图形上，即将文字语言，符号语言全部转化为图形语言。再在图形上寻求线线、线面及面面关系，为打通思路作好铺垫，其次要熟知基本图形中的基本结论；如在正方体中，相邻三个面对的角线围成一个等边三角形，且这个三角形面与相应的正方体的一条对角垂直。（2004年湖北卷考查了这个命题的证明）；又如底面是菱形的四棱锥（柱）中，其底面的对角线互相垂直（2004年湖南卷考查过）。当底面是直角梯形时，常见的辅助线是平移一腰或平移一条对角线（2005年全国卷Ⅰ考查的是平移一条对角线），诸如此类特性可以让学生在学习中逐步总结。
二、画图
画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行多种变换，这种能力的考查主要体现在对概念的理解上，如2005年全国卷Ⅱ填空题中最后一题考查四个命题的真假，其中命②和③很多同学难以判断下面从图角度分析这两个命题。
命题②，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，大多数同学从“等腰三角形”这个信息中容易产生“侧棱长都相等”的错误结论，这是由于思维定势的缘故造成的。如果你看到下面的三棱锥，你就会恍然大悟。
（图中SA=AB=BC=CA= ，SB=SC=1）
命题③，底面是等边三角形，侧面的面积都
相等的三棱锥是正三棱锥，由于侧面面积相等。
底面是等边三角形，所以此三棱锥的斜高都相等，由三垂线定理知，顶点在底面上的射影到各边（或各边所在直线）的距离相等，联想到平面几何中三角形的旁心。即可构造下面的几何图形。图中O为∠CAB的平分线与∠ABC的外角平分线的交点，SO⊥面ABC，则三棱锥S—ABC符合题设中的条件，但显然不是正三棱锥。
三、想图
对图形的想象主要包括有图想图和无
图想图两种，是空间想象能力高层次的标
志，对于立几中命题真伪的判断，是学生感到困惑的问题，如果判断一个命题为真，必须运用严密推理证明，而要否定一个结论只须举出反例，即要想出图形，以确认判断的准确性。
例如，对于四面体ABCD，给出四个命题：
① 若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD
② 若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD
③ 若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD
④ 若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD
对于①，取BC的中点，易证结论成立；对于④证明：设θ为A在面BCD上的射影，依题意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O为△BCD的重心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD；对于②与③很多同学难以判断，构想出下面的图形学生才能心服口服。
如图，AB⊥面BCD，CD⊥BC，设AB=CD=1，BC=
则AC=BD= ，若BC⊥AD，则BC⊥面ABD
即BC⊥BD，矛盾，故BC与AD不垂直，命题②错。至于命题③，只需将图中字母A与B对换C与D对换，则满足已知条件，而结论不成立
四、用图
高考试卷中对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题中，从近几年来看，立体几何综合题一般有二至三问，且安排在解答题的第三、四大题位置上，属于中档难度，学生能否成功拿下这道题，直接影响解题的信心，因此，运用图形特征，理顺图中的线面关系寻求合理的求解（证）途径是平时训练中的基本目标，对于新教材中，引入空间向量以后，很多问题都可以用向量的方法解决，即通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化进而通过计算解决求解，证明的问题。
例.(2004年全国理)如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD, 侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°
（1）求点P到平面ABCD的距离
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小
关于（2）的计算，很多资料上都用传统方法
与构建空间坐标系方法求解，结合本图的特征，
可以采用向量法求解，解法如下
（2）解：由（1）知OE= ，BE= ，PB=3，
PA=AB=2，取PB的中点G，则AG⊥PB
∴ = + +
设面APB与面CPB所成二面角为θ，则< ， >=π－θ，
∴ = + + +2
∴cosθ= , ∴所求二面角为π－arccos
总之，图形语言是空间想象能力的具体化身，只有强化图形语言训练，才能提高空间想象能力，只有夯实基础，才能拓展学生的创新意识。 |
