黄冈市中考数学“亮题”赏析
湖北省黄冈市黄梅县教研室 王定成
数学试题没有亮点，就没有活力．什么样的中考数学试题是“亮题”呢？笔者认为：一般具有下列三个特征：一是创意新颖．这里所说的创意新颖，指的是或试题呈现的形式新颖，或试题内容编排新颖，或解题方法新颖，但不是偏题怪题．二是编题鲜活．这里所说的编题鲜活，指的是试题源于教材，但又活于教材，力求考生见之有亲切感，思之有新鲜感，解之有区分度．三是富于情趣．这里所说的富于情趣，即或富于学生生活情趣，或富于人们生活情趣，或富于综合社会实践活动情趣．
黄冈市中考数学试题年年有新亮点，或在填空选择中设置亮题，或在应用题中设置亮题，或在阅读理解中设置亮题，或在探究性问题中设置亮题．下面从近六年中考试题中择其亮题作些探讨，与同行赏析．
例1 （1999年第21题）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的一点，且 （k＞0）
阅读下段材料，然后回答后面的问题： 图1
如图1，连结BD，因为 ，所以EH∥BD．因为 ，所以FG∥BD，所以FG∥EH．
（1）连结AC，则EF与GH是否一定平行，答： ．
（2）当k值为 时，四边形EFGH为平行四边形．
（3）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH为矩形．
（4）在（2）的情形下，对角线AC与BD只须满足 条件时，EFGH为菱形．
赏析 本题要求学生一边阅读解题过程，一边解答题中未完成的部分，它考查学生的多种能力，这在当时各地中考试题中是很少见到的新题型．
例2 （2000年第23题）先阅读下列第（1）题的解答过程，然后再解答第（2）题．
（1）已知实数a、b满足a2=2－2a，b2=2－2b，且a≠b，求 的值．
解法1，由已知得a2+2a－2=0，b2+2b－2=0，且a≠b，所以a、b是方程x2+2x－2=0的两个不相等的实数根．由根与系数的关系，得a+b=－2，ab=－2．
所以
=
=
解法2，由已知a2=2－2a，①
b2=2－2b．②
①－②，得（a2－b2）+2(a－b)=0．
即（a－b）(a+b+2)=0．所以a+b=－2．
①×②，得a2b2=(2－2a) (2－2b)．
即(ab)2－4ab－12=0．所以ab=6或ab=－2．
a+b=－2 ，
显然 无实数解．
ab=6
所以a+b=－2，ab=－2．
所以
= ．
（2）已知p2－2p－5=0，5q2+2q－1=0，其中p、q为实数，求 的值．
赏析 本题相对1999的阅读理解题，又赋予了新意，一是要求学生通过阅读理解这里的两种解题方法，为解决后面问题得到一些启示；二是考查学生是否有创新能力，因为机械地套用这两种解题方法是难以奏效的，它需要学生对已知的式子进行恰当的变形，才能应用上面的方法．
例3 （2001年21题）南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
|
运输工具 |
途中速度
（千米/时） |
途中费用
（元/千米） |
装卸费用
（元） |
装卸时间
（小时） |
|
飞机 |
200 |
16 |
1000 |
2 |
|
火车 |
100 |
4 |
2000 |
4 |
|
汽车 |
50 |
8 |
1000 |
2 |
若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/小时，记A、B两市间的距离为x千米．
（1）如果用w1、w2、w3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求出w1、w2、w3与x间的函数关系式；
（2）应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小？
赏析 本题特色有三：一是巧妙地运用表格优势，把相关的10多个数据的实际问题表述得简洁明了；二是从考查学生综合应用能力立意出发，将一次函数、一次方程和一次不等式等知识融为一体；三是引导学生运用所学数学知识解决市场经济生活中的决策问题．
例4 （2002年第19题）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余料（如图2），现找了其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的 图2
半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）．
赏析 “所有可能情况”有四种：圆心在直角顶点处；圆心在直角边上；圆心在锐角顶点处；圆心在斜边上．由此根据半径的不同，可得四种设计方案．
例5 （2002年第6题）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC= ，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在同一条直线上，则点A经过的最短线路的长度是 cm．
图3 图4
例6 （2003年第6题）如图4，把直角三角形的斜边AB放在定直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△ 的位置．设BC=1，AC= ，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线l所围成的面积是 （计算结果不取近似值）．
赏析 同是填空题的最后一题，同是转动60°的直角三角形，2003年的第6题在2002年第6题的基础上又有创新，给学生有似曾相识，却又若即若离之感．由于具有新意的亮点题，学生见得比较少，因而是考查学生应变能力的最好题型，也是区分度很明显的题目，具有较强的选拔功能．如2003年第6题，虽说是一道填空题，但得分率很低，不少总分在110分以上的学生，在此题失分．原因是不能正确地将所求图形的面积分解为两个扇形（且两个扇形的半径是不相等的）面积加一个直角三角形面积．
例7 （2004年第7题）某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
|
砝码的质量
（x克） |
0 |
50 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
400 |
500 |
|
指针位置
(y厘米) |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
7.5 |
7.5 |
7.5 |
则y关于x的函数图象是（ ）
赏析 这题主要是考查学生的观察、归纳能力，砝码的质量从0到250克时，每增加50克，弹簧的长度就拉长1厘米，这同时告诉考生，每增加10克，弹簧的长度拉长0.2厘米，而从250克到300克，弹簧的长度只拉长0.5厘米，这一变化就隐含地告诉我们当砝码的质量增加到275克时弹簧拉长已经达到了弹性最大限度．
例8 （2004年第19题）如图5，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD2=AE·AF成立（不要求证明）．
（1）若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时，如图6，则AE·AF是否等于AG2？如果不相等，请探究AE·AF等于哪两条线段的积？并给出证明．
（2）当CD继续向下平移至与⊙O相离时，如图7，在（1）中探求的结论是否还成立，并说明理由．
图5 图6 图7
赏析：本题取材于直线于圆的三种位置关系，创设问题情境：
（1）直线CD在圆内与直径AB垂直时，有结论AD2=AE·AF成立．
（2）当直线CD与圆O相切且与直径AB垂直时，AE·AF是否还等于AG2？这是要求考生去探究，若不成立，
