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中考数学应用与能力考查研
究(3)
湖北省黄梅县教研室 王定成
三、规划设计能力
《数学课程标准(实验稿)》指出：“通过数学学习，培养学生能够形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的多样性，从而发展学生的实践能力与创新精神．”各省市从不同的角度选材、命题考查学生的规划设计能力，就是让学生体验解决问题的多样性，从而培养学生的实践能力与创新精神．
例5．(2003年苏州市)如图4，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草．下面的两个图案是设计示例，请你在图4的两个正方形中再设计两个不同的图案．
示例： 请你设计：
图4
解：根据题意设计如图5、图6形状．
图5 图6
例6．(2002年黄冈市)在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角余料(如图7)．现在找到了其中的一种，测得∠C=900，AC=BC=4，从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都落在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径．(只要求画出图形，并直接写出扇形半径．)
图7
简解：
图7（1） 图7（2） 图7（3） 图7（4）
．
例7．(2001年镇江市)某住宅小区为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场，如图8所示，其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积和为800平方米．
图8
(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y．
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程总造价为S(元)，求S关于x的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
解：（1） (0＜x＜20 )
（2）①
= (0＜x＜20 )．
②
= ＞235000．
∴仅靠银行贷款不能完成该工程的建设任务．
③由S=235000+73000=308000，得2000x2+ +76000=30800．
解得x=10或x=4
当x=10时，y=17.5；当x=4时，y=49．
因此设计方案为：第一种，正方形区域的边长为10米，四个相同的矩形区域的长和宽分别为17.5米和10米，四个相同的三角形区域的直角边长均为17.5米；第二种，正方形区域的边长为4米，四个相同的矩形区域的长和宽分别为49米和4米，四个相同的三角形区域的直角边均为49米．
例5、例6、例7均要求学生根据题设条件尽可能提供各种各样的规划设计方案，既考查了学生的策划设计能力，又考查了学生比较择优能力．例5、例7既渗透了保护环境、美化环境的意识，又强化了“效益”教育．
四、联想探索能力
没有联想就没有创新，没有探索精神就没有创新发现．随着素质教育的深入，联想探索能力在中考测试中地位将会越来越突出．
例8．(2002年河北省)图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b)：在图9(1)中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B1B2，即阴影部分；在图9(2)中将折线A1A2A3，向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B1B2B3，即阴影部分．
(1)在图9(3)中，请你类似地画一条两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
(2)请你分别写出上述 三个图形中除阴影部分后剩余部分的面积:
S1= ,S2= ,S3= ．
(3)联想与探索．
如图9(4)，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是正确的．
(1) (2) (3) (4) (5)
图9
简解：S1=ab-b，S2=ab-b，S3=ab-b．
猜想：依据前面的相关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab-b．
作法：①将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；②将左侧的草地向右平移1个单位；③得到一个新的矩形，如图9(5)．
理由：在新得到的矩形中，其纵向仍然是b，其水平方向的长变成了a－1，所以草地的面积就是b(a-1)=ab-b．
例9．(2002年上海市)操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；
(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．(图10、图11、图12的形状大小相同，图10供操作实验用，图11和图12备用．)
图10 图11 图12
解：（1）PQ=PB.
证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N.则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．
∵NP=NC=MB，∠BPQ=900．
∴∠QPN+∠BPM=900．
∴∠QPN=∠PBM．
∴△QNP≌△PMB．
∴PQ=PB．
(2)由△QNP≌△PMB得NQ=MP．
,
．
．
,
= .
,
即 (0≤x≤ )．
(3)△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形．
此时x=O．
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形．
此时，QN=PM=
．
=
∴当 时，得x=1．
例8、例9都是考查学生能否进行探究性学习的好题．它既遵循了学生学习的认知规律，又遵循了数学演绎与发展的规律，让学生在从特殊到一般、从不变到变和从具体到抽象的过程中探索、发现、揭示共性规律，并加以证明，从而培养学生的直觉思维、联想思维与创造思维能力，进而培养学生的实践能力和创新精神．
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